在等差数列{an}中，a1+a2=5，a3=7，记数列{1anan+1}的前n项和为Sn．求数列{an}的通项公式；是否存在正整数m、n，且1＜m＜

题文

在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃=7，记数列{1anan+1}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_ntS_n成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，n值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，因为a1+a2=-5a3=7，即2a1+d=5a1+2d=7…2
解得a1=1d=3…3
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2（n∈N^*）…4
（2）∵1anan+1=1(3n-2)(3n+1)=13（13n-2-13n+1）…5
∴数列{1anan+1}的前n项和
S_n=1a1a2+1a2a3+…+1anan+1
=13（1-14）+13（14-17）+13（17-110）+…+13（13n-5-13n-2）+13（13n-2-13n+1）
=13（1-13n+1）=n3n+1…7
假设存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_m、S_n成等比数列，
则Sm2=S₁•S_n…8
即(m3m+1)2=14×n3n+1…9
∴n=4m2-3m2+6m+1，
因为n＞0，所以-3m²+6m+1＞0，即3m²-6m-1＜0，
因为m＞1，所以1＜m＜1+233＜3，
因为m∈N^*，所以m=2…12
∴存在满意的正整数m=2，n=16，且只有一组解，即数m=2，n=16．

解析

a1+a2=-5a3=7

考点

据考高分专家说，试题“在等差数列{an}中，a1+a2=5，a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。