已知数列{an}中，an=2np+qn若p=q=1，求数列{an}的前n项和Sn；若p=1，问常数q如何取值时，使数列{an}为等比

题文

已知数列{a_n}中，an=2np+qn（p，q为常数）
（1）若p=q=1，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若p=1，问常数q如何取值时，使数列{a_n}为等比数列？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）p=q=1时，a_n=2ⁿ+n-----------------------------------（2分）
∴S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）=2(1-2n)1-2+n(n+1)2=2ⁿ⁺¹-2+n(n+1)2，----（7分）
（2）p=1时，a_n=2ⁿ+qn，---------------------------------------------（8分）
得a₁=2+q，a₂=4+2q，a₃=8+3q，a₄=16+4q-------------------------------------（9分）
若数列{a_n}为等比数列，则a23=a₂•a₄，-----------------------（11分）
即（8+3q）²=（4+2q）（16+4q），得q=0，--------------------------------------（13分）
此时a_n=2ⁿ，得{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴q=0---------------------------------------------（14分）

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，an=2np+qn（.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。