在数列{an}中，a1=-12，an+1=2an+n-1，n∈N*．证明数列{an+n}是等比数列；求数列{an}的前n项和Sn；求Sn的最小

题文

在数列{a_n}中，a1=-12，an+1=2an+n-1，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n+n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求S_n的最小值，指出S_n取最小值时n的值，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：an+1+(n+1)an+n=2an+n-1+(n+1)an+n=2an+2nan+n=2，n∈N^*
又a1+1=-12+1=12，
所以数列{a_n+n}是首项为12，且公比为2的等比数列
（2）
由（1）可知a_n+n=12×2^n-1=2^n-2
于是数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-2-n
所以数列{a_n}的前n项和Sn=12(1-2n)1-2-(1+n)n2=2n-1-n(n+1)2-12
（3）对任意的n∈N^*，S_n+1-S_n=(2n-(n+1)(n+2)2-12)-(2n-1-n(n+1)2-12)=2^n-1-（n+1）
n=1时，2^n-1-（n+1）=-1＜0  所以S₂＜S₁    
n=2时，2^n-1-（n+1）=-1＜0    所以S₃＜S₂
n=3时，2^n-1-（n+1）=0        所以S₄=S₃
n=4时，2^n-1-（n+1）=3＞0      所以S₅＞S₄
猜想“n∈N^*，且n≥4时，2^n-1＞（n+1）”
下面用数学归纳法证明：
①当n=4时，已证
②假设当n=k（k≥4）时，命题成立，即2^k-1＞（k+1）
那么当n=k+1时，2^k=2×2^k-1＞2（k+1）=（k+2）+k＞k+2=（k+1）+1
这就是说，当n=k+1时，命题也成立
根据①和②，可知当n∈N^*且n≥4时，不等式2^n-1＞（n+1）都成立
综上S₁＞S₂＞S₃=S₄＜S₅＜S₆＜＜S_n＜S_n+1＜
所以当n=3，n=4时，S_n取到最小值：-52

解析

an+1+(n+1)an+n

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=-12，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。