在等比数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn．若数列{Sn+12}也是等比数列，则Sn等于______．

题文

在等比数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n．若数列{S_n+12}也是等比数列，则S_n等于______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当公比为1时，S_n=n，数列{S_n+12}为数列{n+12}为公差为1的等差数列，不满足题意；
当公比不为1时，S_n=1-qn1-q，∴S_n+12=1-qn1-q+12，S_n+1+12=1-qn+11-q+12
∴Sn+1+12Sn+12=2qn+1+q-32qn+q-3=q(2qn+q-3)-q2+4q-32qn+q-3=q+-q2+4q-32qn+q-3
∵数列{S_n+12}是等比数列
∴-q²+4q-3=0
∵q≠1，∴q=3
∴S_n=1-qn1-q=1-3n1-3=12(3n-1)
故答案为：12(3n-1)

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，a1=1，前n项和.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。