设数列{an}的前n项的和为Sn，满足Sn+an=n+3．求证：存在常数c，使数列{an+c}是等比数列；求an与Sn；设Tn=S

题文

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，满足S_n+a_n=n+3（n∈N^*）．
（1）求证：存在常数c，使数列{a_n+c}是等比数列；
（2）求a_n与S_n；
（3）设T_n=S_n-na_n（n∈N*），求证：T_n+1＞T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：S_n+a_n=n+3①；S_n-1+a _n-1=n+2 ②
①式与②式相减，得 2a_n-a_n-1=1，经过变形，得an-1an-1-1=12，
显然存在常数c=-1，使得数列{a_n-1}是等比数列，且公比q=12
（2）当n=1，有s₁+a₁=2a₁=1+3，可得a₁=2，
由{a_n-1}是等比数列，公比q=0.5，当n＞1时，可知a_n-1=（a₁-1）q^n-1化简，得a_n=0.5^n-1+1
s_n=n+3-an=n+2-q^（n-1）=n+2-0.5^n-1
（3）证明：T_n+1=S _n+1-（n+1）×a_n+1=s_n-na_n+1 由T_n=S_n-na_n，两式相减，得T_n+1-T_n=n[a_n-a_n+1]③
由于n为N正，n＞0，当n=1时，a_n=2，a_n+1=1，a_n-a_n+1＞0，故③式右边大于0，故T_n+1＞T_n．
当n＞1时，由前面得a_n-a_n+1=0.5a_n＞0，故③式右边大于0，故T_n+1＞T_n．
得证

解析

an-1an-1-1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项的和为Sn，满足S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。