已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且点在直线y=kx+1上求k的值；求证：{an}是等比数列；记Tn为数

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=2，且点（S_n，S_n+1）在直线y=kx+1上
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求证：{a_n}是等比数列；
（Ⅲ）记T_n为数列{S_n}的前n项和，求T₁₀的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）S_n+1=k•S_n+1，令n=1有，S₂=k•S₁+1，∴a₁+a₂=k•a₁+1．代入a₁=1，a₂=2有k=2．
（2）∵S_n+1=2S_n+1，∴S_n=2S_n-1+1（n≥2）．
两式相减有，a_n+1=2a_n，即，an+1an=2．且a2a1=2符合．
∴{a_n}为公比为2的等比数列．
(3)Sn=1-2n1-2=2n-1
∴T10=(2+22+23++210)-10=2(1-210)1-2-10=2036.

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。