已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，…．求证：数列{1an-1}为等比数列；记Sn=1a1+1a2+…1an，

题文

已知数列{a_n}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，…．
（1）求证：数列{1an-1}为等比数列；
（2）记Sn=1a1+1a2+…1an，若S_n＜100，求最大的正整数n．
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵1an+1=23+13an，∴1an+1-1=13an-13，（2分）
∵1a1-1≠0，∴1an-1≠0(n∈N*)，（3分）
∴1an-1=23×(13)n-1，
∴数列{1an-1}为等比数列．（4分）
（2）由（1）可求得1an-1=23×(13)n-1，∴1an=2×(13)n+1．（5分）Sn=1a1+1a2++1an=n+2(13+132++13n)=n+2•13-13n+11-13=n+1-13n，（7分）
若S_n＜100，则n+1-13n＜100，∴n_max=99．（9分）
（3）假设存在，则m+n=2s，（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²，（10分）
∵an=3n3n+2，∴(3n3n+2-1)•(3m3m+2-1)=(3s3s+2-1)2．（12分）
化简得：3^m+3ⁿ=2•3^s，（13分）
∵3m+3n≥2•3m+n=2•3s，当且仅当m=n时等号成立．（15分）
又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）

解析

1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=35，an+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。