数列{an}的首项为1，前n项和是Sn，存在常数A，B使an+Sn=An+B对任意正整数n都成立．设A=0，求证：数列{an}是等比数列；设数列{a

题文

数列{a_n}的首项为1，前n项和是S_n，存在常数A，B使a_n+S_n=An+B对任意正整数n都成立．
（1）设A=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}是等差数列，若p＜q，且1Sp+1Sq=1S11，求p，q的值．
（3）设A＞0，A≠1，且anan+1≤M对任意正整数n都成立，求M的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）A=0时，a_n+S_n=B，
当n≥2时，由，{an+Sn=Ban-1+Sn-1=B得，a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0
即anan-1=12，所以，数列{a_n}是等比数列．（4分）
（Ⅱ）设数列的公差为d，分别令n=1，2，3得：，
{a1+S1=A+Ba2+S2=2A+Ba3+S3=3A+B，即，{2=A+B2d+3=2A+B5d+4=3A+B，解得，{A=1B=1d=0，
即等差数列{a_n}是常数列，所以S_n=n；（7分）
又1Sp+1Sq=1S11，则1p+1q=111，pq-11p-11q=0，（p-11）（q-11）=11²，
因p＜q，所以p-11=1q-11=112，解得p=12q=132．（10分）
（Ⅲ）当n=1时，2=A+B，所以B=2-A
所以a_n+S_n=An+（2-A），
当n≥1时，由，{an+Sn=An+2-Aan+1+Sn+1=A(n+1)+2-A
得a_n+1-a_n+（S_n+1-S_n）=A，
即an+1=12an+12A
所以an+1-A=12(an-A)，又a₁-A≠0
即数列{a_n-A}是公比为12的等比数列，
所以an-A=(a1-A)(12)n-1，即an=(1-A)(12)n-1+A，（12分）
anan+1=2nA-2A+22nA-A+1=1+1-A(2n-1)A+1，
①当A＞1时anan+1=1+1-A(2n-1)A+1＜1
且anan+1的值随n的增大而减小，
即a1a2＞a2a3＞a3a4＞…，
所以，M≥a1a2，即M的取值范围是[2A+1，+∞)；（14分）
②当0＜A＜1时anan+1=1+1-A(2n-1)A+1＜2
且anan+1的值随n的增大而增大，
即a1a2＜a2a3＜a3a4＜…＜2，
所以，M≥2，
综上即M的取值范围是[2，+∞）．（16分）

解析

an+Sn=Ban-1+Sn-1=B

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的首项为1，前n项和是Sn，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。