已知数列{an}，{cn}满足条件：a1=1，an+1=2an+1，cn=1(2n+1)(2n+3)．若bn=an+1，并求数列{bn}的通项公式；

题文

已知数列{a_n}，{c_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，cn=1(2n+1)(2n+3)．
（1）若b_n=a_n+1，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}的前n项和T_n，求数列{（2n+3）T_n•b_n}前n项和Q_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）：∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴an+1+1an+1=2且a₁+1=2
∵b_n=a_n+1，
∴bn+1bn=2且b₁=2
∴{b_n}是以2为首项以2为公比的等比数列
∴bn=2n
（2）∵cn=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=12(13-15+15-17+…+12n+1-12n+3)
=12(13-12n+3)=n2n+3
∴（2n+3）T_n•b_n=n•2ⁿ
∴Qn=1•2+2•22+…+n•2n
2Q_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-Qn=2+22+…+2n-n•2n+1=2(1-2n)1-2-n•2ⁿ⁺¹=（2-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴Qn=(n-2)•2n+1+2

解析

an+1+1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，{cn}满足条件：a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。