已知，a＞b＞c，若3是3a与13c的等比中项，且λ≤1a-b+1b-c恒成立，则λ的最大值是______．

题文

已知，a＞b＞c，若3是3^a与13c的等比中项，且λ≤1a-b+1b-c恒成立，则λ的最大值是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由3是3^a与13c的等比中项，得：3a•13c=(3)2=3，
即3^a-c=3，所以，a-c=1．
因为1a-b+1b-c=b-c+a-b(a-b)(b-c)=a-c(a-b)(b-c)=1(a-b)(b-c)，
由a＞b＞c，所以a-b＞0，b-c＞0．
则0＜(a-b)(b-c)≤(a-b+b-c2)2=(a-c2)2=14，
所以1(a-b)(b-c)≥4
即1a-b+1b-c≥4
又λ≤1a-b+1b-c恒成立，
所以λ≤4．
所以λ的最大值是4．
故答案为4．

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“已知，a＞b＞c，若3是3a与13c的等.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。