已知数列{an}成等比数列，且an＞0．若a2-a1=8，a3=m．①当m=48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；若

题文

已知数列{a_n}成等比数列，且a_n＞0．
（1）若a₂-a₁=8，a₃=m．
①当m=48时，求数列{a_n}的通项公式；
②若数列 {a_n}是唯一的，求m的值；
（2）若a_2k+a_2k-1+…+a_k+1-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，k∈N^*，求a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意可得q＞0．a₁ 
①当m=48时，由a₂-a₁=8，a₃=48 可得 a1q-a1=8a1q2=48，解得 a1=8(2-3)q =3+3，或 a1=8(2+3)q =3-3．
数列{a_n}的通项公式为 a_n=8（2-3）(3+3)n-1，或  a_n=8（2+3） (3-3)n-1．
②若数列 {a_n}是唯一的，则a1q-a1=8a1q2=m有唯一的正数解，即方程8q²-mq+m=0 有唯一的正数解，由△=m²-32m=0 可得m=32，
此时，q=2，a_n=2ⁿ⁺²．
（2）若a_2k+a_2k-1+…+a_k+1-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，k∈N^*，则有 q^k（a_k+a_k-1+…+a₁）-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，q＞1，
即 （q^k-1）•（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，即 a₁（q^k-1）•（ q^k-1+q^k-2+q^k-3+…q+1）=8．
∴a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k =a₁•q^2k•（ q^k-1+q^k-2+q^k-3+…q+1）=a₁•q^2k•8a1(qk-1)=8•q2k(qk-1) 
=8[(qk-1)2+2(qk-1)+1](qk-1)=8[（q^k-1）+2+1qk-1]≥8（2+2）=32，当且仅当 q^k-1=1qk-1 时，等号成立，
故a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值为 32．

解析

a1q-a1=8a1q2=48

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}成等比数列，且an＞0．.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。