已知数列{an}的前项n和为Sn，a1=1，Sn与-3Sn+1的等差中项是-32(n∈N*)．证明数列{Sn-32}为等比数列；求数列{an}的通项

题文

已知数列{a_n}的前项n和为S_n，a₁=1，S_n与-3S_n+1的等差中项是-32(n∈N*)．
（1）证明数列{S_n-32}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若对任意正整数n，不等式k≤S_n恒成立，求实数k的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为S_n与-3S_n+1的等差中项是-32，
所以S_n-3S_n+1=-3，即S_n+1=13S_n+1，…（2分）
由此得S_n+1-32=13（S_n-32），…（3分）
即Sn+1-32Sn-32=13，…（4分）
又∵S₁-32=a₁-32=-12，
所以数列{S_n-32}是以-12为首项，13为公比的等比数列．…（5分）
（2）由（1）得S_n-32=-12×（13）^n-1，即S_n=32-12×（13）^n-1，…（6分）
所以，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=[32-12×（13）^n-1]-[32-12×（13）^n-2]=13n-1…（8分）
又n=a时，a₁=1也适合上式，
所以a_n=13n-1．…（9分）
（3）要使不等式k≤S_n对任意正整数n恒成立，即k小于或等于S_n的所有值．
又因为S_n=32-12×（13）^n-1是单调递增数列，…（10分）
且当n=1时，S_n取得最小值1，…（11分）
要使k小于或等于S_n的所有值，即k≤1，…（13分）
所以实数k的最大值为．…（14分）

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前项n和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。