设{an}是正项等比数列，令Sn=lga1+lga2+…+lgan，n∈N*，若存在互异的正整数m，n，使得Sm=Sn，则Sm+n=______．

题文

设{a_n}是正项等比数列，令S_n=lga₁+lga₂+…+lga_n，n∈N^*，若存在互异的正整数m，n，使得S_m=S_n，则S_m+n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵{a_n}是正项等比数列，设公比为q，
∴lga_n+1-lga_n=lgq
∴数列{lga_n}为等差数列，
设公差为d
则S_m=mlga₁+m(m-1)d2，S_n=nlga₁+n(n-1)d2
∵S_m=S_n，
∴S_m-S_n=mlga₁+m(m-1)d2-nlga₁-n(n-1)d2=（m-n）（lga₁+m+n-12d）=0
∵m≠n
∴lga₁+m+n-12d）=0
∴S_m+n=（m+n）lga₁+(m+n)(m+n-1)d2=（m+n）（lga₁+m+n-12d）=0
故答案为0．

解析

m(m-1)d2

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是正项等比数列，令Sn=lga.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。