已知数列{an}满足：a1=14，a2=34，an+1=2an-an-1，数列{bn}满足b1＜0，3bn-bn-1=n

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=14，a₂=34，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是单调递增数列；
（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S_n取得最小值，求b₁的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N*）∴{a_n}是等差数列．
又a₁=14，a₂=34，
∴a_n=14+（n-1）-12=2n-14
b_n=13b_n-1+n3（n≥2，n∈N*），
∴b_n+1-a_n+1=13b_n+n+13-2n+14=13bn-2n-112=13（b_n-2n-14）=13（b_n-a_n）．
又∵b₁-a₁=b₁-14≠0
∴{b_n-a_n}是以b₁-14为首项，以13为公比的等比数列．
（Ⅱ）b_n-a_n=（b₁-14）•(13)n-1a_n=2n-14，b_n=（b₁-14）•(13)n-1+2n-14．
当n≥2时b_n-b_n-1=12-23（b₁-14）13n-2
又b₁＜0，∴b_n-b_n-1＞0
∴{b_n}是单调递增数列．
（Ⅲ）∵当且仅当n=3时，S_n取最小值．
∴b3＜0b4＞0
即54+(b1-14)(13)2 ＜ 074+(b1-14) (13)3＞ 0，
∴b₁∈（-47，-11）．

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=14，a2=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。