数列bn+1=12bn+14，且b1=72，Tn为{bn}的前n项和．求证：数列{bn-12}是等比数列，并求{bn}的通项公式；如果{bn}对任意

题文

数列bn+1=12bn+14，且b1=72，Tn为{bn}的前n项和．
（1）求证：数列{bn-12}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）如果{b_n}对任意n∈N*，不等式12k(12+n-2Tn)≥2n-7恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：对任意n∈N^*，都有bn+1=12bn+14，所以bn+1-12=12(bn-12)…（1分）
则数列{bn-12}成等比数列，首项为b1-12=3，公比为12…（2分）
所以bn-12=3×(12)n-1，
∴bn=3×(12)n-1+12…（4分）
（2）因为bn=3×(12)n-1+12
所以Tn=3×1-12n1-12+n2=6(1-12n)+n2…（6分）
因为不等式12k(12+n-2Tn)≥2n-7，化简得k≥2n-72n对任意n∈N^*恒成立…（7分）
设cn=2n-72n，则cn+1-cn=9-2n2n+1…（9分）
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列
∵c4=116，c5=332，∴c₄＜c₅，∴n=5时，c_n取得最大值332…（11分）
所以，要使k≥2n-72n对任意n∈N^*恒成立，k≥332…（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列bn+1=12bn+14，且b1=7.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。