数列{an}与{bn}的前n项和分别是An和Bn，且bn=n•an，2An=Bn+n2n+1(n∈N)．求证：数列{an}是从第三项起的等比数列；当

题文

数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别是A_n和B_n，且b_n=n•a_n，2An=Bn+n2n+1 (n∈N)．
（1）求证：数列{a_n}是从第三项起的等比数列；
（2）当数列{a_n}是从第一项起的等比数列时，用n的式子表示B_n；
（3）在（2）的条件下，对于给定的自然数k，当n＞k时，limn→∞(n-k)an-kBn+k-1=M，且M∈（-1000，-100），试求k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：a1=14，当n≥3时，根据a_n=A_n-A_n-1，na_n=B_n-B_n-1，可得an=(12)n+1，即{a_n}从第三项起成等比．
（2）若{a_n}从第一项起成等比，那么由a1=14，q=12，得a2=18，an=14(12)n-1，An=12-12n+1，
故 Bn=1-n+22n+1．
（3）∵(n-k)an-kBn+k-1=(n-k)•22k-(n+k+2)，又∵limn→∞(n-k)an-kBn+k-1=M，∴M=-2^2k，
由已知M∈（-1000，-100），∴2^2k∈（100，1000），∴2k=7，8，9，∵k∈N，故k=4为所求．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“数列{an}与{bn}的前n项和分别是A.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。