函数f满足2f-f(1x)=4x-2x+1，数列{an}和{bn}满足下列条件：a1=1，an+1=2an+f，bn=an+1-an，n∈N；

题文

函数f（x）满足2f（x）-f(1x)=4x-2x+1，数列{a_n}和{b_n}满足下列条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+f（n），b_n=a_n+1-a_n，n∈N；
（1）f（x）的解析式；
（2）求数列b_n的通项公式；
（3）试比较2a_n与b_n的大小，且证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵2f（x）-f(1x)=4x-2x+1，
∴2f(1x) -f(x)=4x-2x+1，
联立方程组2f(x)-f(1x) =4x-2x+12f(1x) -f(x)=4x-2x+1① ② ，
①×2+②，得3f（x）=6x+3，
∴f（x）=2x+1．（4′）
（2）由题设，a_n+1=2a_n+2n+1 ①，
a_n+2=2a_n+1+2n+3 ②，
②-①：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）+2 （6′）
即b_n+1=2b_n+2⇒b_n+1+2=2（b_n+2），
∴{b_n+2}为等比数列，
q=2，b₁=a₂-a₁=4 （8′）
b_n+2=6•2^n-1⇒b_n=3•2ⁿ-2 （10′）
（3）由上，a_n+1-a_n=3•2ⁿ-2 ③，
a_n+1-2a_n=2n+1 ④，
③-④：a_n=3•2ⁿ-2n-3 （12）
∴2a_n-b_n=3•2ⁿ-4n-4．
n=1时，2a₁-b₁=-2＜0，
此时2a_n＜b_n；
n=2时，2a₂-b₂=0，
此时2a_n=b_n； （14′）
n≥3时，
3•2ⁿ
=3（1+1）ⁿ
=3（1+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ）
＞3（1+C_n¹+C_n^n-1）
=6n+3
＞4n+4，
此时，2a_n＞b_n．
综上可得：当n=1时，2a_n＜b_n，
当n=2时，2a_n=b_n，
当n≥3时，2a_n＞b_n．（18′）

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）满足2f（x）-f(1x)=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。