已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-qan1-q其中q为非零常数，函数f(x)=12x2+2x-12，数列{bn}满足bn+1=f′（bn

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=2-qan1-q（n∈N^*）其中q为非零常数，函数f(x)=12x2+2x-12，数列{b_n}满足b_n+1=f′（b_n），（n∈N^*），b₁=f（1），设cn=112anbn，{b_n}的前n项和为T_n，Bn=1T1+1T2+…+1Tn，求A_n=c₁+c₂+…+c_n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）当q=13时，试比较f(43An)与f（B_n）的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）S_n=2-qan1-q⇒(1-q)Sn=2-qan且q≠1
当n=1时，（1-q）S₁=2-qa₁⇒a₁=2
当n≥2时，（1-q）S_n-（1-q）S_n-1=qa_n-1-qa_n⇒a_n=qa_n-1
∴{a_n}是以2为首项，公比为q的等比数列．
（Ⅱ） 当q=13时，由（1）得 a_n=2(13)n-1
又 f（x）=12x2+2x-12，∴f′（x）=x+2
由b_n+1=f′（b_n）得b_n+1=f′（b_n）=b_n+2
∴{b_n}是以2为首项，公差为2的等差数列，
故b_n=2n
∴c_n=112anbn=n(13)n     T_n=n(b1+bn)2=n（n+1），
B_n=1T1+1T2+…+1Tn=11×2+12×3+…+1n(n+1)=1-1n+1
A_n=c₁+c₂+…+c_n=1•13+2(13)2+…+n(13)n…①
∴13An=1•(13)2+2(13)3+3(13)4+…+(n-1)(13)n+n(13)n+1…②
①-②得∴23An=1•(13)1+(13)2+(13)3+…+(13)n-n(13)n+1
=13(1-13n)1-13-n(13)n+1=1-13n2-n(13)n+1
∴43An=1-13n-2n3•13n
∴43An-Bn=1-13n-2n3•13n-1+1n+1=1n+1-2n+33n+1=3n+1-(2n2+5n+3)(n+1)•3n+1
当n=1时，43An-Bn=3n+1-(2n2+5n+3)(n+1)•3n+1=9-1018＜0
∴43An＜Bn
当n≥2时，
令g（x）=3^x+1-（2x²+5x+3）
则g′（x）=3^x+1ln3-（4x+5），g^∥（x）=3^x+1（ln3）²-4在[2，+∞）上为单调增函数，
∴g^∥（x）=3^x+1（ln3）²-4≥3³（ln3）²-4＞0
∴g′（x）=3^x+1ln3-（4x+5）在[2，+∞）上为单调增函数，
g′（x）=3^x+1ln3-（4x+5）≥3³ln3-9＞27-9＞0
g（x）=3^x+1-（2x²+5x+3）在[2，+∞）上为单调增函数，
∴当n≥2时，g（n）=3ⁿ⁺¹-（2n²+5n+3）≥3³-（2×4+10+3）＞0
即当n≥2时，43An-Bn=3n+1-(2n2+5n+3)(n+1)•3n+1＞0
∴当n≥2时，43An＞Bn
又f′（x）=x+2＞0对x≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴当n=1时f（43An）＜f（B_n）
当n≥2时f（43An）＞f（B_n）．

解析

2-qan1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。