已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=13Sn．求a2，a3，a4的值；求数列{an}的通项公式．

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=13S_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1=13S_n，
∴a2=13S1=13a1=13，
∴a3=13S2=13(a1+a2)=13(1+13)=49，
∴a4=13S3=13(a1+a2+a3)=13(1+13+49)=1627；
（2）∵a_n+1=13S_n，∴an=13Sn-1(n≥2)，
两式相减得：an+1-an=13(Sn-Sn-1)=13an，
∴an+1=43an(n≥2)，
∴数列{a_n}从第2项起，以后各项成等比数列，an=13×(43)n-2(n≥2)，
 故数列{a_n}的通项公式为an=13×(43)n-2，(n≥2)1，(n=1)．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。