已知数列{an}满足a1=76，Sn是{an}的前n项和，点在f=12x+13的图象上，数列{bn}中，b1=1，且bn+1bn

题文

已知数列{a_n}满足a₁=76，S_n是{a_n}的前n项和，点（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=12x+13的图象上，数列{b_n}中，b₁=1，且bn+1bn=nn+1 （n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n-23}是等比数列；
（2）分别求数列{a_n}和{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（3）若c_n=an-23bn，T_n为数列{c_n}的前n项和，n∈N^*，求T_n并比较T_n与1的大小（只需写出结果，不要求证明）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=12x+13的图象上
∴Sn+1=12(2Sn+an)+13，
即Sn+1-Sn=12an+13，
an+1=12an+13，
即an+1-23=12(an-23)，
∴a1-23=12≠0，
∴数列{an-23}是等比数列．
（2）由（1）知，an-23=(a1-23)(12)n-1，
得an=23+(12)n，
∵bn+1bn=nn+1，
∴b2b1=12，b3b2=23，b4b3=34，…，bnbn-1=n-1n，
∴bnb1=12×23×34×…×n-1n=1n，
即bn=1nb1=1n（n≥2）．
又∵b₁=1，∴bn=1n．
（3）cn=an-23bn=(12)n1n=n•(12)n，
Tn=1×12+2×(12)2+…+n×(12)n，①
12Tn=1×(12)2+…+(12)n-n•(12)n+1，②
①-②得：12Tn=12+(12)2+…+(12)n-n(12) n+1，
12Tn=12(1-12 n)1-12-n(12)n+1，
12Tn=1-12 n-n(12)n+1，
T_n=2-2+n2n，
Tn-1=1-2+n2n，
n=1时，T_n-1＜0，即T_n＜1，
n=2时，T_n-1=0，即T_n=1，
n≥3时，T_n-1＞0，即T_n＞1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=76，Sn是{.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。