在数列{an}中，a1+a2+a3+…+an=n-an．求a1，a2，a3的值；设bn=an-1，求证：数列{bn}是等比数

题文

在数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）设b_n=a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）设cn=bn•(n-n2) （n=1，2，3，…），如果对任意n∈N^*，都有cn＜t5，求正整数t的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由已知，a₁=1-a₁，a₁=12．a₁+a₂=2-a₂，a₂=34．a₁+a₂+a₃=3-a₃，a₃=78．
（II）证明：由已知可得，S_n=n-a_n，
当n≥2时，S _n-1=（n-1）-a_n-1，
a_n=S_n-S_n-1=1-a_n+a_n-1
a_n-1=12（a_n-1-1），
即当n≥2时，b_n=12b_n-1，b₁=a₁-1=-12≠0
所以数列{b_n}是等比数列，其首项为-12，公比为12．
（III）由（Ⅱ）得b_n=-12n，
∴cn=bn•(n-n2)=n2-n2n
c_n-c_n-1=(n+1)2-(n+1)2n+1-n2-n2n=n(3-n)2n+1
∴c₁＜c₂＜c₃=c₄＞c₅＞…
∴c_n有最大值c₃=c₄=34，任意n∈N^*，都有cn＜t5，当且仅当34＜t5即t＞154，故正整数t的最小值是4．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1+a2+a3+…+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。