等差数列{an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn为{an}的前n项和，令bn=anan+1，数列{1bn}的前n项和为Tn．求an和Sn；

题文

等差数列{ a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记S_n为{a_n}的前n项和，令b_n=a_na_n+1，数列{1bn}的前n项和为T_n．
（1）求a_n和S_n；
（2）求证：T_n＜13；
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}的公差为d，
由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12，
解得a₁=1，d=3，
∴a_n=3n-2，
Sn=n+n(n-1)2×3=3n2-n2．
（2）∵b_n=a_na_n+1=（3n-2）（3n+1），
∴1bn=1(3n-2)(3n+1)=13(13n-2-13n+1)，
Tn=13(1-14+14-17+17-111+…+13n-5-13n-2+13n-2-13n+1)
=13(1-13n+1)＜13．
（3）由（2）知，Tn=n3n+1，∴T1=14，Tm=m3m+1，Tn=n3n+1，
∵T₁，Tm，Tn成等比数列，
∴(m3m+1)2=14×n3n+1，
即6m+1m2=3n+4n，
当m=1时，7=3n+4n，n=1，不合题意；
当m=2时，134=3n+4n，n=16，符合题意；
当m=3时，199=3n+4n，n无正整数解；
当m=4时，2516=3n+4n，n无正整数解；
当m=5时，3125=3n+4n，n无正整数解；
当m=6时，3736=3n+4n，n无正整数解；
当m≥7时，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，
则6m+1m2＜1，而3n+4n=3+4n＞3，
所以，此时不存在正整数m，n，且7＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比数列．

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}中a3=7，a1+a2+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。