若a1＞0，a1≠1，an+1=2an1+an求证：an+1≠an；令a1=12，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个

题文

若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=2an1+an（n=1，2，…）
（1）求证：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=12，写出a₂、a₃、a₄、a₅的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a_n；
（3）证明：存在不等于零的常数p，使{an+Pan}是等比数列，并求出公比q的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）采用反证法．若a_n+1=a_n，即2an1+an=a_n，解得 a_n=0或1，
从而a_n=a_n1=…a₂=a₁=0或1与题设a₁＞0，a₁≠1相矛盾，故a_n+1≠a_n成立．
（2）a₁=12，a₂=23，a₃=45，a₄=89，a₅=1617，a_n=2n-12n-1+1．
（3）因为an+1+pan+1=(2+p)an+p2an，又an+1+pan+1=an+pan-q，
所以（2+p-2q）a_n=p（1-2p），
因为上式是关于变量a_n的恒等式，故可解得q=12、p=-1．

解析

2an1+an

考点

据考高分专家说，试题“若a1＞0，a1≠1，an+1=2an1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。