已知数列{an}的前项和为Sn，点在直线y=4x-5上，其中n∈N，令bn=an+1-2an，且a1=1．求证数列{bn}是等比数列

题文

已知数列{a_n}的前项和为S_n，点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N，令b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上；
∴S_n+1=4（a_n+2）-5=4a_n+3；  ①
s₂=4a₁+3=a₁+a₂⇒a₂=4；
∴S_n=4a_n-1+3；②
∴①-②：a_n+1=4a_n-4a_n-1；
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）；
数列{a_n-2a_n-1}是以2为首相，2为公比的等比数列；
即数列{b_n}是等比数列；
所以：b_n=a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹；
（2）∵nb_n=n•2ⁿ⁺¹；
∴T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹；③
∴2T_n=1×2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²；④
③-④：-T_n=1×2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=22(1-2n)1-2-n•2ⁿ⁺²=4+（1-n）•2ⁿ⁺²；
∴Tn=4+(n-1)•2n+2．

解析

22(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前项和为Sn，点（an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。