已知等差数列{an}的公差d不为零，首项a1=2且前n项和为Sn．当S9=36时，在数列{an}中找一项am，使得a3，a9，am成为等比数列，

题文

已知等差数列{a_n}的公差d不为零，首项a₁=2且前n项和为S_n．
（Ⅰ）当S₉=36时，在数列{a_n}中找一项a_m（m∈N），使得a₃，a₉，a_m成为等比数列，求m的值．
（Ⅱ）当a₃=6时，若自然数n₁，n₂，…，n_k，…满足3＜n₁＜n₂＜…＜n_k＜…并且a₁，a₃，a_n1，a_n2，…，a_nk，…是等比数列，求n_k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵数列{a_n}的公差d≠0，a₁=2，S₉=36，
∴36=9×2+12×9×8d，解之可得d=12，
∴a₃=3，a₉=6…3分
由a₃，a₉，a_m成等比数列
则a29=a3•am，得a_m=12，
又12=2+(m-1)×12，
∴m=21…7分
（Ⅱ）∵{a_n}是等差数列，a₁=2，a₃=6，∴d=2，∴a_n=2n，
又a1，a3，an1成等比数列，所以公比q=3…11分，
∴ank=a1•qk+1=2•3k+1
又ank是等差数列中的项，∴ank=2nk，
∴2nk=2•3k+1，
∴nk=3k+1(k∈N)…14分．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差d不为零，首项.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。