已知数列{an}为等差数列，a1=2，且其前10项和为65，又正项数列{bn}满足bn=n+1an(n∈N*)求数列{bn}的通项公式；比较b1，b

题文

已知数列{a_n}为等差数列，a₁=2，且其前10项和为65，又正项数列{b_n}满足bn=n+1an (n∈N*)
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）比较b₁，b₂，b₃，b₄的大小；
（3）求数列{b_n}的最大项；
（4）令c_n=lga_n，数列{c_n}是等比数列吗？说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{a_n}的公差为d
，则65=10a1+10×92d
且a₁=2，得d=1，从而a_n=n+1
故bn=n+1n+1；
（2）b1=2=623＜632=33=b2b3=44=2=b1，
b3=44=2045＞2054=55=b4
∴b₂＞b₁=b₃＞b₄
（3）由（2）猜想{b_n+1}递减，即猜想当n≥2时，
n+1n+1＞n+2n+2
考察函数y=lnxx (x＞e)，当x＞e时lnx＞1y′=1-lnxx2＜0
故y=lnxx在（e，+∞）上是减函数，而n+1≥3＞e
所以ln(x+2)x+2＜ln(x+1)x+1，即n+2n+2＜n+1n+1
于是猜想正确，因此，数列{b_n}的最大项是b2=33；
（4）{c_n}不是等比数列
由c_n=lga_n=lg（n+1）知
cncn+2=lg(n+1)lg(n+3)＜[lg(n+1)+lg(n+3)2]2
=[lg(n+1)lg(n+3)2]2＜[lg(n+2)22]2
=lg²（n+2）
=c_n+1²
故{c_n}不是等比数列．

解析

10×92

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为等差数列，a1=2，且.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。