数列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n，．求a2，a3的值；试求λ、μ的值，使得数列{an+λn2+μn}为等比数列；（

题文

数列{a_n}中，a₁=1，an+1=2an-n2+3n，（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）试求λ、μ的值，使得数列{an+λn2+μn}为等比数列；
（3）设数列{b_n}满足：bn=1an+n-2n-1，S_n为数列{b_n}的前n项和．证明：n≥2时，6n(n+1)(2n+1)＜Sn＜53． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=1，an+1=2an-n2+3n，
∴a₂=2a₁-1+3=4，a₃=2a₂-4+6=10；
（2）设a_n+1=2a_n-n²+3n，可化为a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=2（a_n-λn²+μn），
即a_n+1=2a_n-λn²+（μ-2λ）n-λ-μ，
∴λ=-1，μ=2
又a₁+1²+1≠0
故存在λ=-1，μ=1  使得数列{an+λn²+μn}是等比数列；
（3）证明：由（2）得a_n-n²+n=（a₁-1²+1）•2^n-1
∴a_n=2^n-1+n²-n，
∴bn=1an+n-2n-1=1n2
∵1n2＜22n-1-22n+1
∴n≥2时，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1+（23-25）+…+（22n-1-22n+1）=1+23-22n+1
证明Sn＞6n(n+1)(2n+1)
当n=2时，S_n=b₁+b₂=1+14=54
而当n≥3时，由bn=1n2＞1n-1n+1得S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＞nn+1
由2n+1＞6，得1＞62n+1
∴Sn＞6n(n+1)(2n+1)对于n≥2，n∈N^*都成立，
∴n≥2时，6n(n+1)(2n+1)＜Sn＜53．

解析

1an+n-2n-1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=1，an+1=2a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。