已知数列{an}有以下的特征：a1=1，a1，a2，…，a5是公差为1的等差数列；a5，a6，…，a10是公差为d的等差数列；a10，a11，…，a15是公差为

题文

已知数列{a_n}有以下的特征：a₁=1，a₁，a₂，…，a₅是公差为1的等差数列；a₅，a₆，…，a₁₀是公差为d的等差数列；a₁₀，a₁₁，…，a₁₅是公差为d²的等差数列；…；a_5n，a_5n+1，a_5n+2，…，a_5n+5是公差为dⁿ的等差数列（n∈N^*），其中d≠0．设数列b_n满足b_n=a_5n-a_5（n-1）（n≥2），b₁=a₅．
（Ⅰ） 求证数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ） 求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ） 当d＞-1时，证明对所有正奇数n，总有Sn＞52． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：当n≥2时，b_n=a_5n-a_5（n-1）=5d^n-1，
∴bn+1bn=5dn5dn-1=d（d≠0）． （2分）
又b₁=a₅=a₁+4×1=5，b₂=a₁₀-a₅=5d，
∴b2b1=d，（3分）
∴当n≥2时，bnbn-1=d都成立，
故数列{b_n是以5为首项，d为公比的等比数列．（4分）
（Ⅱ）∵S_n=b₁+b₂+…+b_n=5+5d+5d²+…+5d^n-1
=5(1-dn)1-d，(d≠1)5n，(d=1)（7分）
（Ⅲ）当d∈（0，+∞）时，S_n=5+5d+5d²+…+5d^n-1＞5显然成立（8分）
当d∈（-1，0）时，1＜1-d＜2，又∵n为正奇数，
∴1＜1-dⁿ
故1-dn1-d＞12，
∴Sn＞52． （10分）
或当d∈（-1，0）时，又n为正奇数，则1+d＞0＞2dⁿ，所以2-2dⁿ＞1-d＞0．
因此1-dn1-d＞12，∴Sn＞52． （10分）

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}有以下的特征：a1=1，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。