设数列{an}为等比数列，a1=C2m+33mAm-21，公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项．确定m的值用n，x表示通项

题文

设数列{a_n}为等比数列，a1=C2m+33mAm-21，公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）确定m的值
（2）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（3）记 An=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn
①证明，当x=1时，An=n×2n-1
②当x≠1时，用n，x表示A_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a₁=C3m2m+3•A1m-2得2m+3≥3mm-2≥1⇔m≤3m≥3，
∴m=3，
（2）a₁=C99•A11=1．
又(x+14x2)4 展开式中第2项T₂=C14•x³•（14x2）=x，即公比为x，
∴a_n=x^n-1，
∴S_n=n，x=11-xn1-x，x≠1；
（2）由S_n表达式引发讨论：
（Ⅰ）当x=1时，S_n=n，此时A_n=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn，①
又A_n=nC0n+（n-1）C1n+…+1•Cn-1n ②
∴①+②得2A_n=n（C0n+C1n+…+Cnn）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1．
（Ⅱ）当x≠1时，S_n=1-xn1-x，此时A_n=1-x1-xC1n+1-x21-xC2n+…+1-xn1-xCnn 
=11-x[（C1n+C2n+…+Cnn）-（xC1n+x²C2n+x³C3n+…+xⁿCnn）]
=11-x{（2ⁿ-1）-[（1+x）ⁿ-1]}
=11-x[2ⁿ-（1+x）ⁿ]．

解析

C3m2m+3

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}为等比数列，a1=C2m+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。