已知数列{an}满足a1=1，an=12an-1+1(n≥2)．求a2，a3，a4的值；求证：数列{an-2}是等比数列；求an，并求{an}

题文

已知数列{a_n}满足a1=1，an=12an-1+1(n≥2)．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：数列{a_n-2}是等比数列；
（3）求a_n，并求{a_n}前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}满足a1=1，an=12an-1+1(n≥2)，
∴a2=12a1+1=32，a3=12a2+1=74，a4=12a3+1=158．…（3分）
（2）∵an-2an-1-2=12an-1-1an-1-2=12(an-1-2)an-1-2=12，
又a₁-2=-1，
∴数列{a_n-2}是以-1为首项，12为公比的等比数列．…（7分）
（注：文字叙述不全扣1分）
（3）由（2）得an-2=-1×(12)n-1，则an=2-(12)n-1，…（9分）
∴Sn=2n-[1+12+(12)2+…+(12)n-1]=2n-1×[1-(12)n]1-12=2n-2+(12)n-1．…（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，an=12.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。