设数列{an}的前n项和为Sn，an与Sn满足an+Sn=2．求数列{an}的通项公式；令bn=Sn+λSn+1，求使数列{

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n与S_n满足a_n+S_n=2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=S_n+λS_n+1（n∈N^*），求使数列{b_n}为等比数列的所有实数λ的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令n=1，有2a₁=2⇒a₁=1，
an+1+Sn+1=2an+sn=2⇒2a_n+1-a_n=0，n∈N⁺，∴an+1an=12，
∴a_n是以1为首项，12为公比的等比数列，∴an=12n-1．
（2）由（1）知Sn=2-12n-1，
∴bn=Sn+λ Sn-1=2+2λ-(λ+2)•12n，n∈N+，
b1=2+3λ2，b2=6+7λ4，b3=14+15λ8．
∵b_n为等比数列，∴b₂²=b₁•b₃，解得λ=-1或λ=-2．
当λ=-1时，bn=-12n，{b_n}为等比数列；
当λ=-1时，b_n=-2，{b_n}为等比数列；
综上，使数列{b_n}为等比数列的所有实数λ的值为一1或-2．

解析

an+1+Sn+1=2an+sn=2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，an与S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。