已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an-n+1．证明数列{an-n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；数列{bn}满足：

题文

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）证明数列{a_n-n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：bn=n2an-2n（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）比较S_n与3n2n+1的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证法一：由a_n+1=2a_n-n+1，
得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁=2，则a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以a₁-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则an-n=1×2n-1，
∴an=2n-1+n．…（4分）
证法二：an+1-(n+1)an-n=2an-n+1-(n+1)an-n
=2an-2nan-n=2，
又a₁=2，则a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以a₁-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则an-n=1×2n-1，∴an=2n-1+n．…（4分）
（2）∵bn=n2an-2n，
∴bn=n2an-2n=n2n．…（5分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=12+2•(12)2+…+n•(12)n，…①
∴12Sn=(12)2+2•(12)3+…+（n-1）•(12)n+n•(12)n+1，…②
由①-②，得12Sn=12+(12)2+…+(12)2-n•(12)n+1
=12[1-(12)n]1-12-n•(12)n+1
=1-(n+2)(12)n+1，…（8分）
∴Sn=2-(n+2)•(12)n．…（9分）
（3）Sn-3n2n+1=2-（n+2）•(12)n-3n2n+1
=n+22n+1-(n+2)•(12)n
=(n+2)•[2n-(2n+1)](2n+1)•2n，
当n=1时，Sn＜3n2n+1；
n=2时，Sn＜3n2n+1；
n≥3时，2n=C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn
＞C0n+C1n+Cn-1n=2n+1，
∴Sn-3n2n+1＞0，
∴Sn＞3n2n+1．
综上：n=1或2时，Sn＜3n2n+1；
n≥3时，Sn＞3n2n+1．…（12分）

解析

an+1-(n+1)an-n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=2，an+1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。