已知数列{an}为递增的等比数列，且a3、a8分别是方程x2-66x+128=0的两根．求a5•a6的值；求数列{an}的通项公式；以数列{a

题文

已知数列{a_n}为递增的等比数列，且a₃、a₈分别是方程x²-66x+128=0的两根．
（1）求a₅•a₆的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）以数列{a_n}中的偶数项作为一个新的数列{b_n}，求数列{b_n}的通项公式，并求前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵数列{a_n}为递增的等比数列，且a₃、a₈分别是方程x²-66x+128=0的两根
∴a₃•a₈=128，a₃+a₈=66
∴a₃=2，a₈=64
（1）∵5+6=3+8
∴a₅•a₆=a₃•a₈=128，
（2）∵a₃=2，a₈=64
∴q=2
∴a_n=2^n-2
（3）由（2）的结论数列{a_n}中的偶数项作为一个新的数列{b_n}，
则数列{b_n}是一个以1为首项，以4为公比的等比数列
则b_n=4^n-1
S_n=1-4n1-4=13•4n-13

解析

1-4n1-4

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为递增的等比数列，且a3.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。