设a0为常数，且an=3n-1-2an-1．若数列{an+λ3n}是等比数列，求实数λ的值；求数列{an}的通项公式；假设对任意n

题文

设a₀为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N⁺）．
（1）若数列{a_n+λ3ⁿ}是等比数列，求实数λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）假设对任意n≥1，有a_n≥a_n-1，求a₀的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知a_n+λ3ⁿ=-2（a_n-1+λ3^n-1），a_n=-2a_n-1-2•λ•3^n-1-λ3ⁿ，∴λ=-15．
（2）数列{an-15•3n} 的首项为a0-15，公比为-2．
an-15•3n=(a0-15)(-2)n，∴an=(-2)na0+15•3n-15•(-2)n，n=0，1，2，3，…
（3）利用（2）的结果，得a_n≥a_n-1等价于(-1)n-1(5a0-1)＜(32)n-2…③
对任意的奇数n＞0，③式都成立的充要条件为5a0-1＜(32)1-2=23，即a0＜13；
而对任意的偶数n＞0，③式都成立的充要条件为1-5a0＜(32)2-2=1，即a₀＞0．
因此任意n≥1，都使a_n≥a_n-1成立的a₀的取值范围为 (0，13)．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设a0为常数，且an=3n-1-2an-.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。