已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+是否存在常数p，q，r，使数列{an+pn2+qn+r}是等比数列，若存在

题文

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+（n-2）（n-1）（n∈N^*）
（1）是否存在常数p，q，r，使数列{a_n+pn²+qn+r}是等比数列，若存在求出p，q，r的值；若不存在，说明理由；
（2）设数列{b_n}满足bn=12n+1-an，证明：b1+b2+…+bn＜32． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设a_n+1+p（n+1）²+q（n+1）+r=2（a_n+pn²+qn+r）
∴a_n+1=2a_n+pn²+（q-2p）n+r-p-q
由a_n+1=2a_n+n²-3n+2∴p=1，q=-1，r=2.4分
∴{a_n+n²-n+2}是以首项为4，公比为2的等比数列．6分
（2）∵a_n+n²-n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹7′
∴bn=12n+1-an=1n2-n+2＜1n2-n=1(n-1)n=1n-1-1n(n≥2)9分
∴n=1时，b1=12＜3210′n≥2时，b1+b2+b3++bn=b1+(11-12+12-13++1n-1-1n)=12+1-1n＜32
综上：b₁+b₂+b₃++b_n＜32(n∈N*)12分

解析

12n+1-an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=2，an+1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。