数列{an}是公比为q的等比数列，a1=1，an+2=an+1+an2(n∈N*)求公比q；令bn=nan，求．

题文

数列{a_n}是公比为q的等比数列，a₁=1，an+2=an+1+an2(n∈N*)
（1）求公比q；
（2）令b_n=na_n，求． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵{a_n}为公比为q的等比数列，a_n+2=an+1+an2（n∈N^*），
∴a_n•q²=anq+an2，即2q²-q-1=0，
解得q=-12或q=1；
（2）当a_n=1时，b_n=n，S_n=1+2+3+…+n=n(n+1)2，
当a_n=(-12)n-1时，b_n=n•(-12)n-1，
S_n=1+2•（-12）+3•(-12)2+…+（n-1）•(-12)n-2+n•(-12)n-1①，
-12S_n=（-12）+2•(-12)2+…+（n-1）•(-12)n-1+n(-12)n②，
①-②得32S_n=1+(-12) +(-12)2+…+(-12)n-1-n(-12)n
=1-(-12)n1+12-n•(-12)n=23-23(-12)n-n  •  (-12)nS_n=49-49(-12)n-2n3  •  (-12)n．

解析

an+1+an2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}是公比为q的等比数列，a1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。