已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，都有an=23．求证：数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式．求数列{na

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，都有a_n=23（S_n+n）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式．
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵对任意n∈N^*，都有a_n=23（S_n+n），且S₁=a₁，
∴a₁=23（S₁+1）=23（a₁+1），得a₁=2…1分
又由a_n=23（S_n+n），得S_n=32a_n-n，
当n≥2且n∈N^*时，有a_n=S_n-S_n-1=（32a_n-n）-[32a_n-1-（n-1）]=32a_n-32a_n-1-1，…3分
即a_n-3a_n-1=2，
∴a_n+1=3（a_n-1+1），由此表明{a_n+1}是以a₁+1=3为首项，3为公比的等比数列．
∴a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1…5分
故数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ-1…6分
（2）na_n=n（3ⁿ-1）=n•3ⁿ-n，设数列{n•3ⁿ}的前n项和为K_n，
则K_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ…8分
∴3K_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，
两式相减，得
-2K_n=3¹+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=3(1-3n)1-3-n•3ⁿ⁺¹…10分
∴K_n=(2n-1)•3n+1+34…12分
因此T_n=K_n-n(n+1)2=(2n-1)•3n+1-2n(n+1)+34…14分

解析

23

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。