已知递增等比数列{bn}满足b2•b4=64，b5=32，数列{an}满足an-bn=12n．求数列{an}的通项公式；设数列cn=nan，求数列{

题文

已知递增等比数列{b_n}满足b₂•b₄=64，b₅=32，数列{a_n}满足an-bn=12n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列c_n=na_n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵递增等比数列{b_n}满足b₂•b₄=64，b₅=32，设公比为q，则有  b12 q⁵=64，且 b₁q⁴=32，
解得 b₁=2，q=2，b_n=2ⁿ．
再由 {a_n}满足an-bn=12n，可得 a_n=b_n+12n=2ⁿ+12n．
（Ⅱ）∵数列c_n=na_n，∴c_n =n 2ⁿ+12．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+n2 
令 s=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ  ①，则 2s=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹  ②．
①-②可得-s=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴s=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，∴T_n=s+n2=（n-1）2ⁿ⁺¹+2+n2．

解析

12n

考点

据考高分专家说，试题“已知递增等比数列{bn}满足b2•b4=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。