已知f=logmx，设f，f，…，f是首项为4，公差为2的等差数列．求证：数列{an

题文

已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_nf（a_n），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=2时，求S_n；
（3）若c_n=a_nlga_n，问是否存在实数m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意f（a_n）=4+2（n-1）=2n+2，即log_ma_n=2n+2，
∴a_n=m²ⁿ⁺²
∴an+1an=m2(n+1)+2m2n+2=m2
∵m＞0且m≠1，
∴m²为非零常数，
∴数列{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列
（2）由题意b_n=a_nf（a_n）=m²ⁿ⁺²log_mm²ⁿ⁺²=（2n+2）•m²ⁿ⁺²，
当m=2时，bn=(2n+2)•2n+1=(n+1)•2n+2
∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²①
①式乘以2，得2S_n=2•2⁴+3•2⁵+4•2⁶+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³②
②-①并整理，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³=-2³-[2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²]+（n+1）•2ⁿ⁺³
=-23-23[1-2n]1-2+(n+1)•2n+3=-2³+2³（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺³=2ⁿ⁺³•n
（3）由题意c_n=a_nlga_n=（2n+2）•m²ⁿ⁺²lgm，要使c_n-1＜c_n对一切n≥2成立，
即nlgm＜（n+1）•m²•lgm对一切n≥2成立，
①当m＞1时，n＜（n+1）m²对n≥2成立；
②当0＜m＜1时，n＞（n+1）m²
∴n＞m21-m2对一切n≥2成立，只需m21-m2＜2，
解得-63＜m＜63，考虑到0＜m＜1，
∴0＜m＜63．
综上，当0＜m＜63或m＞1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=logmx（m为常数，m＞.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。