设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，Sn+1=2Sn+3n，n∈N*．设bn=Sn-3n，n∈N*，证明数列{bn}为等比数列；

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a（a≠3），S_n+1=2S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）设b_n=S_n-3ⁿ，n∈N^*，证明数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a≠3时，bn+1bnSn+1-3n+1Sn-3n=2Sn+3n-3n+1Sn-3n=2
所以{b_n}为等比数列．                                                   （4分）
（2）b₁=S₁-3=a-3，（1分）b_n=（a-3）×2^n-1．                                 （2分）
所以S_n-3ⁿ=（a-3）×2^n-1（3分）a_n=S_n-S_n-1，n≥2，n∈N^*an=a2×3n-1+(a-3)×2n-2，n=1n≥2；                                （6分）
（3）a_n+1≥a_n，a2＞a1an+1＞an， n＞2，（2分）
a≥-9（5分）
所以a≥-9，且a≠3．                                                  （6分）

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。