已知正项数列{an}满足a1=1，an+1=an2+2an，令bn=log2．求证：数列{bn}为等比数列；记Tn为数列{1

题文

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）记T_n为数列{1log2bn+1•log2bn+2}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-12a)对∀n∈N₊恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1=a_n²+2a_n，∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1，∴log(an+1+1)2=2log₂（a_n+1），
∵b_n=log₂（a_n+1），∴bn+1bn=2，∴数列{b_n}为等比数列．
（2）∵数列{b_n}为等比数列，b₁=1，q=2，∴b_n=2^n-1，∴1log2bn+1•log2bn+2=1n(n+1)=1n-1n+1，
∴T_n=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1＜1，∵不等式Tn＜log0.5(a2-12a)对∀n∈N₊恒成立，
只要 log0.5(a2-12a)≥1=log_0.5^0.5  即可，即 a2-a2＞0a2-a2≤12，即 a＜0  或 a＞12-12≤ a ≤1，
解得-12≤a＜0，或  12＜a≤1，故a的取值范围 为[-12，0）∪（12，1]．

解析

log(an+1+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知正项数列{an}满足a1=1，an+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。