在数列{an}中，a1=1，an+1=an2+4an+2，n∈N*．设bn=log3，证明数列{bn}是等比数列；求数列{an}的通项

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n²+4a_n+2，n∈N^*．
（I）设b_n=log₃（a_n+2），证明数列{b_n}是等比数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设cn=4an-2-1an+1an+4，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（I）由a1=1，an+1=an2+4an+2
得an+1+2=(an+2)2
∴log₃（a_n+1+2）=2（log₃a_n+2）（3分）
∵b_n=log₃（a_n+2），
∴b₁=1，b_n+1=2b_n（5分）
（II）由（I）可得bn=2n-1
即log3(an+2)=2n-1
∴an=32n-1-2（8分）
（III）∵a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴a_n+1-2=a_n²+4a_n
∵cn=4an-2-1an+1an+4=4an-2-(1an-14+an)
=4an-2-4an(an+4)=4an-2-4an+1-2（10分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=4a1-2-4a2-1+…+4an-2-4an+1-2（10分）
=4a1-2-4an+1-2=-4-432n-4（12分）

解析

4an-2

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，an+1=a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。