已知数列{an}满足a1=73，an+1=3an-4n+2求a2•a3的值；证明数列{an-2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公

题文

已知数列{a_n}满足a₁=73，a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*）
（1）求a₂•a₃的值；
（2）证明数列{a_n-2n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足1+2bnbn=ann（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₂=3a₁-4+2=3×73-2=5，a₃=3a₂-4×2+2=3×5-6=9．
∴a₂a₃=5×9=45．
（2）∵a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*），∴a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又a1-2=13，∴数列{a_n-2n}是首项为13，且公比为3的等比数列．
∴an-2n=13×3n-1，于是数列{a_n}的通项公式为an=2n+3n-2(n∈N*)．
（3）由1+2bnbn=ann，∴1bn+2=2+3n-2n，得bn=n3n-2．
∴Sn=3+21+33+432+…+n3n-2  ①
于是13Sn=1+23+332+…+n-13n-2+n3n-1  ②
由①-②得23Sn=3+1+13+132+…+13n-2-n3n-1=3[1-(13)n]1-13-n3n-1=92[1-(13)n]-n3n-1，
∴Sn=274[1-(13)n]-n2×3n-2．

解析

73

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=73，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。