无穷等比数列{an}的各项和为S，若数列{bn}满足bn=a3n-2+a3n-1+a3n，则数列{bn}的各项和为A．SB．3SC．S2D．S3

题文

无穷等比数列{a_n}的各项和为S，若数列{b_n}满足b_n=a_3n-2+a_3n-1+a_3n，则数列{b_n}的各项和为（ ）A．SB．3SC．S²D．S³ 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵无穷等比数列{a_n}的各项和为S，
∴设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
则由定义得S=a11-q．
∵数列{b_n}满足b_n=a_3n-2+a_3n-1+a_3n，
∴bn+1bn=a3n+1+a3n+2+a3n+3a3n-2+a3n-1+a3n=q3(a3n-2+a3n-1+a3n)a3n-2+a3n-1+a3n=q3，
∴数列{b_n}为等比数列，且公比q1=q3，首项b₁=a₁+a₂+a₃=a1(1+q+q2)，
∴数列{b_n}的各项和为S'=b11-q3═a1(1+q+q2)1-q3=a1(1+q+q2)(1-q)(1+q+q2)=a11-q=S．
故选：A．

解析

a11-q

考点

据考高分专家说，试题“无穷等比数列{an}的各项和为S，若数列.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。