已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：．a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3若数列{an}是首

题文

已知数列{a_n}、{b_n}中，对任何正整数n都有：．a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3
（1）若数列{a_n}是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若数列{b_n}是等比数列，数列{a_n}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3
∴a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-2b2+an-1b1=3n-2(n-1)-3
∴a1bn+(a2-a1)bn-1+(a3-a2)bn-2+…+(an-1-an-2)b2+(an-an-1)b1=2•3n-2
∵数列{a_n}是首项和公差都是1的等差数列，
∴bn+bn-1+bn-2+…+b2+b1=2•3n-2
∴n≥3时b_n=4×3^n-1
又b₁=4，b₂=12也符合上式
∴b_n=4×3^n-1
∴bnbn-1=3，
∴数列{b_n}是等比数列
（2）设数列{b_n}的公比为q．
∵a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3①
∴(a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-2b2+an-1b1)q=(3n-2(n-1)-3)q②
②-①得：a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3-q3ⁿ+2q（n-1）+3q（n≥2）
q=3时，a_n=4nb1；
又a₁=4b1也符合上式，∴q=3时，a_n=4nb1，∴数列{a_n}是等差数列；
q≠3时，数列{a_n}不是等差数列．

解析

bnbn-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}、{bn}中，对任何正整.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。