数列{an}中，a1=1，an+1=12a2n-an+c，且a3-a2=18.求c的值；①证明：an＜an+1；

题文

数列{a_n}中，a₁=1，an+1=12a2n-an+c（c＞1为常数，n=1，2，3，…），且a3-a2=18.
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）①证明：a_n＜a_n+1；
②猜测数列{a_n}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）比较n

k=11ak与4039an+1的大小，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题意，a2=12a21-a1+c=c-12，a3=12a22-a2+c=12(c-12)2+12.
由a3-a2=18，得12(c-12)2+12-(c-12)=18，
解得c=2，或c=1（舍去）．
（Ⅱ）①证明：因为an+1-an=12a2n-2an+2=12(an-2)2≥0，
当且仅当a_n=2时，a_n+1=a_n．
因为a₁=1，所以a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1（n=1，2，3，）．
②数列{a_n}有极限，且limn→∞an=2．
（Ⅲ）由an+1=12a2n-an+2，可得a_n（a_n+1-a_n）=（a_n-2）（a_n+1-2），
从而1an=1an-2-1an+1-2．
因为a₁=1，所以n

k=11ak=n

k=1(1ak-2-1ak+1-2)=1a1-2-1an+1-2=12-an+1-1.
所以n

k=11ak-4039an+1=12-an+1-1-4039an+1=40a2n+1-41an+1-3939•(2-an+1)=(5an+1+3)(8an+1-13)39•(2-an+1).
因为a₁=1，由（Ⅱ）①得a_n≥1（n∈N^*）．（1）
下面证明：对于任意n∈N^*，有a_n＜2成立．
当n=1时，由a₁=1，显然结论成立．
假设结论对n=k（k≥1）时成立，即a_k＜2．
因为an+1=12a2n-an+2=12(an-1)2+32，且函数y=12(x-1)2+32在x≥1时单调递增，
所以ak+1＜12(2-1)2+32=2．
即当n=k+1时，结论也成立．于是，当n∈N^*时，有a_n＜2成立．（2）
根据（1）、（2）得1≤a_n＜2．
由a₁=1及an+1=12a2n-an+2，经计算可得a2=32，a3=138.
所以，当n=1时，1a1＜4039a2；当n=2时，1a1+1a2=4039a3；
当n≥3时，由138＜an+1＜2，得n

k=11ak-4039an+1=(5an+1+3)(8an+1-13)39•(2-an+1)＞0⇒n

k=11ak＞4039an+1．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=1，an+1=12.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。