已知数列{an}为等比数列．若a1+a2+a3=21，a1a2a3=216，求an；若a3a5=18，a4a8=72，求公比q．

题文

已知数列{a_n}为等比数列．
（1）若a₁+a₂+a₃=21，a₁a₂a₃=216，求a_n；
（2）若a₃a₅=18，a₄a₈=72，求公比q． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由等比数列的性质可得a₁a₂a₃=a₂³=216，∴a₂=6，
∴a₁a₃=36且a₁+a₃=21-a₂=15．
∴a₁，a₃是方程x²-15x+36=0的两根，
解方程可得两根为3和12．
当a₁=3时，q=a2a1=2，
∴a_n=3×2^n-1；
同理，当a₁=12时，q=12，a_n=12•（12）^n-1=3×2^3-n．
（2）由题意可得a₄a₈=a₃q•a₅q³=a₃a₅q⁴=18q⁴=72，
∴q⁴=4，∴公比q=±2．

解析

a2a1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为等比数列．（1）若a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。