题文
设数列
满足
且
（Ⅰ）求
的值，使得数列
为等比数列；（Ⅱ）求数列
和
的通项公式；
（Ⅲ）令数列
和
的前
项和分别为
和
，求极限
的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
（Ⅱ）
，
．
（Ⅲ）
解析
（Ⅰ）令
，其中
为常数，若
为等比数列，则存在
使得
．
又
．
所以
．
由此得
2分
由
及已知递推式可求得
，把它们代入上式后得方程组
消去
解得
．…4分
下面验证当
时，数列
为等比数列．
，
，从而
是公比为
的等比数列．
同理可知
是公比为
的等比数列，于是
为所求．……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得
，
，解得
，
．…9分
（Ⅲ）令数列
的通项公式为
，它是公比为
的等比数列，令其前
项和为
；令数列
的通项公式为
，它是公比为
的等比数列，令其前
项和为
． 由第（Ⅱ）问得
，
．
． 由于数列
的公比
，则
．
，由于
，则
，
于是
，所以
……12
考点
据考高分专家说，试题“设数列满足且（Ⅰ）求的值，使得数列为等比.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
