已知数列和满足：，，，其中为实数，.⑴ 对任意实数，证明数列不是等比数列；⑵ 证明：当，数列是等比数列； ⑶设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都

题文

已知数列

和

满足：

，

，

，
其中

为实数，

.
⑴ 对任意实数

，证明数列

不是等比数列；
⑵ 证明：当

，数列

是等比数列；
⑶设

为数列

的前

项和，是否存在实数

，使得对任意正整数

，都有

？
若存在，求

的取值范围；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

⑴证明略⑵证明略⑶存在实数

，使得对任意正整数

，都有

，

的取值范围为

.

解析

⑴证明：假设存在一个实数

，使

是等比数列，则有

，
即

矛盾.
所以

不是等比数列.
⑵ 解：因为








又

，所以，当

时，
由上可知

，
此时

是以

为首项，

为公比的等比数列.
⑶当

时，由⑵得

，于是


，
当

时，

，从而

上式仍成立.要使对任意正整数n , 都有

.即


令

，则


当n为正奇数时，

；当n为正偶数时，

.




的最大值为

于是可得

.
综上所述，存在实数

，使得对任意正整数

，都有

，

的取值范围为

.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列和满足：，，，其中为实数，.⑴ .....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。