题文
已知二次函数
的图象经过坐标原点，其导函数为
，数列
的首项
，点
均在函数
的图象上．
（Ⅰ）求证
是公比为2的等比数列．
（Ⅱ）记bn=
，求数列
的前项和
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）
解析
（Ⅰ）设二次函数
，则
，由于
，得
，所以
．又因为点
均在函数
的图像上，所以
＝
，
，
，∴
，两边同取自然对数可得
，
即
，
是公比为2的等比数列；
（Ⅱ）
，
是公比为2的等比数列，
∴
，
∴
，即
．
，∴
，∴
，
∴
．
∵
，∴
，
∴
．
，
∴
．
考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
